Reduzierter Elastizitätsmodul zweier Kontaktpartner

Was beschreibt diese Größe?

Wenn zwei Körper sich berühren, verformen sich beide elastisch. Der reduzierte Elastizitätsmodul E* fasst beide Werkstoffsteifigkeiten zu einer einzigen wirksamen Größe zusammen: 1/E* = (1−ν1²)/E1 + (1−ν2²)/E2, mit den Elastizitätsmoduln E1, E2 und den Querkontraktionszahlen (Poissonzahlen) ν1, ν2 beider Kontaktpartner.

Man kann sich das wie zwei hintereinandergeschaltete Federn vorstellen, die sich unter derselben Last je nach ihrer eigenen Nachgiebigkeit verformen: Die Gesamtnachgiebigkeit ist die Summe der Einzelnachgiebigkeiten, nicht einfach der Mittelwert der Einzelsteifigkeiten. Genauso addieren sich hier die Nachgiebigkeitsanteile 1/E* beider Körper.

Formel und Variablen

1/E* = (1−ν1²)/E1 + (1−ν2²)/E2

• 1/E* = (1−ν1²)/E1 + (1−ν2²)/E2
• E1 = (1−ν1²) / [1/E* − (1−ν2²)/E2]

Eingaben richtig wählen

Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl beider Kontaktpartner bestimmen den reduzierten Elastizitätsmodul. Für die meisten Stähle liegt ν bei etwa 0,3; E variiert je nach Stahlsorte nur wenig um etwa 200 bis 210 GPa.

So benutzt du den Rechner

Gib E1, ν1, E2 und ν2 ein, um E* zu berechnen. Für eine reine Stahl-Stahl-Paarung kannst du beide Wertepaare gleich setzen; das Ergebnis ist dann unabhängig von der genauen Stahlsorte immer etwa 115 GPa.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

Zwei Stahlkörper mit E1 = E2 = 210 GPa und ν1 = ν2 = 0,3 ergeben E* = 1 / [2 · (1−0,3²)/210 GPa] ≈ 115,4 GPa.

Ergebnis und Einheiten verstehen

Ein reduzierter Elastizitätsmodul von 115,4 GPa für Stahl-Stahl ist deutlich kleiner als der Elastizitätsmodul eines einzelnen Stahlkörpers (210 GPa), da beide Körper zur Gesamtverformung beitragen. Bei einer Werkstoffpaarung mit einem weicheren Partner (z. B. Stahl auf Bronze) fällt E* noch weiter ab, da der weichere Körper die Gesamtnachgiebigkeit dominiert.

Elastizitätsmoduln werden meist in GPa angegeben, Querkontraktionszahlen sind dimensionslos und liegen für die meisten metallischen Werkstoffe zwischen etwa 0,25 und 0,35.

Warum E* nicht einfach der Mittelwert von E1 und E2 ist

Die Formel 1/E* = (1−ν1²)/E1 + (1−ν2²)/E2 addiert NACHGIEBIGKEITEN (reziproke Steifigkeiten), nicht Steifigkeiten selbst – genau wie bei parallel oder seriell geschalteten Federn. Für zwei identische Körper (E1=E2=E, ν1=ν2=ν) vereinfacht sich die Formel zu E* = E/[2·(1−ν²)], was für Stahl (E=210 GPa, ν=0,3) rund 115 GPa ergibt – deutlich weniger als E selbst. Ein einfacher arithmetischer Mittelwert von E1 und E2 würde diesen Zusammenhang nicht korrekt abbilden und zu einem zu hohen, nicht-physikalischen Ergebnis führen.

Typische Anwendungen

Der reduzierte Elastizitätsmodul ist eine notwendige Zwischengröße für jede Hertzsche Pressungsberechnung bei Linien- oder Punktberührung, etwa bei Wälzlagern, Zahnradflanken, Nockenkontakten, Rollen auf Schienen und Kugel- oder Rollenkontakten allgemein.

Annahmen, Grenzen und typische Fehler

Die Formel setzt linear-elastisches, isotropes Materialverhalten beider Körper voraus. Sie berücksichtigt keine Anisotropie (z. B. bei gehärteten Randschichten mit abweichenden Eigenschaften), keine Temperaturabhängigkeit von E und ν sowie kein plastisches oder viskoelastisches Verhalten.

Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler ist, E1 und E2 einfach zu mitteln statt die Formel korrekt anzuwenden – das ergibt ein zu hohes, falsches E*. Ebenso wird die Querkontraktionszahl manchmal ganz vergessen oder mit einem für das jeweilige Material unpassenden Pauschalwert angesetzt.