Zwei sich berührende Zylinder verformen sich elastisch zu einem schmalen Druckband statt sich in einer geometrischen Linie zu berühren; die Pressung darin ist um ein Vielfaches höher als eine auf die scheinbare Kontaktfläche bezogene mittlere Pressung.
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Zwei sich berührende Zylinder verformen sich elastisch zu einem schmalen Druckband statt sich in einer geometrischen Linie zu berühren; die Pressung darin ist um ein Vielfaches höher als eine auf die scheinbare Kontaktfläche bezogene mittlere Pressung.
5.000 N über 50 mm Kontaktlänge zwischen 40-mm- und 80-mm-Zylindern aus Stahl (E* ≈ 115,4 GPa) ergeben pH ≈ 525 MPa.
Klassische Hertzsche Theorie: rein elastisches Verhalten, glatte Oberflächen, Kontaktbreite klein gegenüber den Zylinderdurchmessern und keine plastische Verformung.
Der Rechner bestimmt die maximale Hertzsche Pressung zwischen zwei parallelen Zylindern aus Normalkraft, Kontaktlänge, beiden Durchmessern und dem reduzierten Elastizitätsmodul.
Zwei parallele Zylinder berühren sich geometrisch entlang einer Linie. Unter Last verformen sich beide elastisch zu einem schmalen Druckband der halben Breite b, in dessen Mitte die maximale Pressung pH auftritt: pH = √[(FN/L)·E*/(π·R)], mit dem reduzierten Radius R aus 1/R = 2/D1 + 2/D2.
Man kann sich das wie zwei aufeinandergepresste Gummiwalzen vorstellen: Statt sich in einer unendlich dünnen Linie zu berühren, drücken sie sich zu einem sichtbaren, schmalen Streifen zusammen. Bei Stahl ist diese Verformung viel kleiner und unsichtbar, aber das Prinzip ist identisch – und die Pressung in der Mitte dieses Streifens ist um ein Vielfaches höher als eine grobe Abschätzung Kraft-durch-Fläche vermuten ließe.
pH = √[(FN/L)·E* / (π·R)], 1/R = 1/D1 + 1/D2, jeweils bez. Radius
pH = √[(FN/L)·E* / (π·R)]1/R = 2/D1 + 2/D2| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Maximale Hertzsche Pressung pH | Spitzenwert der Pressung in der Mitte des Kontaktbandes. |
| Normalkraft FN | Senkrecht zur Kontaktfläche wirkende Anpresskraft. |
| Kontaktlänge L | Länge der Berührlinie zwischen den beiden Zylindern. |
| Durchmesser Zylinder 1 D1 | Durchmesser des ersten Zylinders. |
| Durchmesser Zylinder 2 D2 | Durchmesser des zweiten Zylinders. |
| Reduzierter Elastizitätsmodul E* | Wirksamer Elastizitätsmodul der Werkstoffpaarung, siehe verlinkten Rechner. |
Normalkraft FN, Kontaktlänge L, beide Zylinderdurchmesser D1 und D2 sowie der reduzierte Elastizitätsmodul E* (aus dem verlinkten Rechner) bestimmen die maximale Pressung.
Berechne zunächst E* mit dem Rechner für den reduzierten Elastizitätsmodul, falls noch nicht bekannt. Gib dann Kraft, Kontaktlänge und beide Durchmesser ein, um die maximale Hertzsche Pressung zu bestimmen.
5.000 N über 50 mm Kontaktlänge zwischen 40-mm- und 80-mm-Stahlzylindern (E* ≈ 115,4 GPa) ergeben pH ≈ 525 MPa.
Eine Pressung von 525 MPa liegt bereits im Bereich, der bei gehärtetem Wälzlagerstahl (zulässige Dauerfestigkeit oft über 1.000 MPa) noch unkritisch ist, bei weicheren Baustählen jedoch bereits die Streckgrenze überschreiten kann. Zum Vergleich: Die scheinbare mittlere Pressung Kraft/(Kontaktlänge×Kontaktbreite) läge deutlich niedriger als dieser tatsächliche Spitzenwert.
Kraft wird in N angegeben, Längen und Durchmesser in mm, der reduzierte Elastizitätsmodul in GPa und die resultierende Pressung in MPa.
Geometrisch betrachtet berühren sich zwei starre Zylinder nur in einer unendlich dünnen Linie, was eine unendlich hohe Pressung bedeuten würde. Da reale Werkstoffe elastisch nachgeben, verformen sich beide Zylinder lokal, sodass sich die Kontaktlinie zu einem schmalen, aber endlich breiten Druckband aufweitet. Innerhalb dieses Bandes ist die Pressung nicht gleichmäßig verteilt, sondern folgt einer halbelliptischen Verteilung mit dem Maximum pH in der Mitte und null an den Rändern des Bandes.
Die Berechnung wird zur Auslegung von Wälzlagern, Zahnradflanken (Linienberührung an den Zahnflanken), Nocken, Rollen und Kettenrädern verwendet, überall dort, wo zwei gekrümmte Oberflächen unter Last aufeinander abrollen oder gleiten.
Klassische Hertzsche Theorie: rein elastisches Materialverhalten, ideal glatte Oberflächen, Kontaktbreite klein gegenüber den Zylinderdurchmessern, und keine tangentialen Reibkräfte in der Kontaktfläche. Reale Oberflächenrauheit, Schmierfilmaufbau (Elastohydrodynamik) und beginnende plastische Verformung bei sehr hohen Pressungen werden nicht abgebildet.
Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler ist, die scheinbare mittlere Flächenpressung (Kraft durch Kontaktfläche) mit der tatsächlichen Hertzschen Spitzenpressung zu verwechseln – letztere liegt stets deutlich höher. Ebenso wird manchmal der Außendurchmesser statt des tatsächlich im Kontakt wirksamen Krümmungsdurchmessers eingesetzt.
Linienberührung entsteht beim Kontakt zweier Zylinder oder eines Zylinders mit einer Ebene; Punktberührung entsteht beim Kontakt zweier Kugeln oder einer Kugel mit einer Ebene, siehe die entsprechenden verlinkten Rechner.
Weil die tatsächliche Kontaktfläche unter Last extrem klein ist und die Pressung darin zudem ungleichmäßig, mit einem deutlichen Spitzenwert in der Mitte, verteilt ist – eine grobe Kraft-durch-Fläche-Rechnung mit einer angenommenen größeren Fläche unterschätzt diesen Spitzenwert erheblich.
Wenn die Streckgrenze des Werkstoffs örtlich überschritten wird (plastische statt rein elastische Verformung), bei sehr rauen Oberflächen, oder wenn tangentiale Reibkräfte in der Kontaktfläche signifikant werden.
Der reduzierte Radius wird vom kleineren Durchmesser dominiert; ein sehr viel größerer zweiter Durchmesser nähert sich dem Sonderfall Zylinder-Ebene an, siehe den entsprechenden Rechner.
Nein, sie liefert nur die statische Kontaktpressung; für eine vollständige Auslegung sind zusätzlich Ermüdungsfestigkeit, Schmierung und dynamische Lastwechsel zu berücksichtigen.