Rechenweg
pH = √[(FN/L)·E* / (π·D/2)]
Der Sonderfall der Linienberührung mit einer Ebene als zweitem Partner (unendlicher Durchmesser); typisch für eine Rolle, die auf einer flachen Schiene oder Bahn abrollt.
pH = √((FN/L)·E*/(π·D/2))
Hertzsche Pressung bei Zylinder-Ebene-Kontakt
Der Sonderfall der Linienberührung mit einer Ebene als zweitem Partner (unendlicher Durchmesser); typisch für eine Rolle, die auf einer flachen Schiene oder Bahn abrollt.
MINTSI
02
Ergebnis
Zielgröße auswählen und Eingaben berechnen.
Eingaben verstehen
- Maximale Hertzsche Pressung pH — Spitzenwert der Pressung in der Mitte des Kontaktbandes.
- Normalkraft FN — Senkrecht zur Kontaktfläche wirkende Anpresskraft.
- Kontaktlänge L — Länge der Berührlinie zwischen Zylinder und Ebene.
- Zylinderdurchmesser D — Durchmesser des auf der Ebene abrollenden oder aufliegenden Zylinders.
- Reduzierter Elastizitätsmodul E* — Wirksamer Elastizitätsmodul der Werkstoffpaarung, siehe verlinkten Rechner.
Beispiel
5.000 N über 50 mm Kontaktlänge auf einem 40-mm-Zylinder aus Stahl (E* ≈ 115,4 GPa) ergeben pH ≈ 429 MPa.
Annahmen und Grenzen
Klassische Hertzsche Theorie mit ideal ebenem Gegenkörper (unendlicher Durchmesser); reale Bahnen haben endliche Krümmung und Rauheit, die die Pressung zusätzlich beeinflussen.
Hertzsche Pressung bei Zylinder-Ebene-Kontakt verstehen
Der Rechner bestimmt die maximale Hertzsche Pressung zwischen einem Zylinder und einer ebenen Fläche aus Normalkraft, Kontaktlänge, Zylinderdurchmesser und reduziertem Elastizitätsmodul.
Was beschreibt diese Größe?
Zylinder-Ebene-Kontakt ist der Sonderfall der Linienberührung, bei dem der zweite Kontaktpartner einen unendlich großen Durchmesser hat (eine ebene Fläche). Der reduzierte Radius vereinfacht sich dadurch auf R = D/2, und die maximale Pressung ergibt sich aus pH = √[(FN/L)·E*/(π·D/2)].
Das ist wie eine Walze, die über eine flache Bahn oder Schiene rollt: Die Bahn selbst hat effektiv keine Krümmung, sodass nur die Krümmung der Walze in die Rechnung eingeht – ein einfacherer Sonderfall des allgemeinen Zylinder-Zylinder-Kontakts.
Formel und Variablen
pH = √[(FN/L)·E* / (π·D/2)]
pH = √[(FN/L)·E* / (π·D/2)]R = D/2
| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Maximale Hertzsche Pressung pH | Spitzenwert der Pressung in der Mitte des Kontaktbandes. |
| Normalkraft FN | Senkrecht zur Kontaktfläche wirkende Anpresskraft. |
| Kontaktlänge L | Länge der Berührlinie zwischen Zylinder und Ebene. |
| Zylinderdurchmesser D | Durchmesser des auf der Ebene abrollenden oder aufliegenden Zylinders. |
| Reduzierter Elastizitätsmodul E* | Wirksamer Elastizitätsmodul der Werkstoffpaarung, siehe verlinkten Rechner. |
Eingaben richtig wählen
Normalkraft FN, Kontaktlänge L, Zylinderdurchmesser D und der reduzierte Elastizitätsmodul E* bestimmen die maximale Pressung.
So benutzt du den Rechner
Berechne zunächst E* mit dem Rechner für den reduzierten Elastizitätsmodul, falls noch nicht bekannt. Gib dann Kraft, Kontaktlänge und Zylinderdurchmesser ein, um die maximale Pressung zu bestimmen.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
5.000 N über 50 mm Kontaktlänge auf einem 40-mm-Stahlzylinder gegen eine ebene Stahlfläche (E* ≈ 115,4 GPa) ergeben pH ≈ 429 MPa.
Ergebnis und Einheiten verstehen
Der Vergleich mit dem allgemeinen Zylinder-Zylinder-Rechner zeigt: Bei gleicher Kraft, Länge und Zylinderdurchmesser 40 mm ist die Pressung gegen eine Ebene (429 MPa) niedriger als gegen einen zweiten, endlichen Zylinder mit 80 mm Durchmesser (525 MPa) – ein größerer Gegenkörper-Krümmungsradius verteilt die Last stets über eine größere Fläche.
Kraft wird in N angegeben, Länge und Durchmesser in mm, der reduzierte Elastizitätsmodul in GPa und die resultierende Pressung in MPa.
Ein Sonderfall mit einer Vereinfachung
Mathematisch folgt der Zylinder-Ebene-Kontakt aus dem allgemeinen Zylinder-Zylinder-Kontakt, indem der zweite Durchmesser D2 gegen unendlich strebt: Der Term 1/D2 in der reduzierten Radius-Formel 1/R = 2/D1 + 2/D2 verschwindet, sodass nur noch R = D1/2 übrig bleibt. Diese Vereinfachung macht den Rechner kompakter, da nur ein Durchmesser statt zwei benötigt wird, ist aber physikalisch nur zulässig, wenn der zweite Körper tatsächlich näherungsweise eben ist.
Typische Anwendungen
Die Berechnung wird zur Auslegung von Rollen auf Laufbahnen, Nockenscheiben gegen Flachstößel, Linearführungen mit zylindrischen Wälzkörpern auf einer Führungsschiene und ähnlichen Zylinder-Ebene-Kontakten im Maschinenbau verwendet.
Annahmen, Grenzen und typische Fehler
Klassische Hertzsche Theorie mit einem ideal ebenen, unendlich ausgedehnten Gegenkörper. Reale Bahnen oder Schienen haben endliche Breite und eventuell leichte Querkrümmung, was die tatsächliche Pressungsverteilung gegenüber diesem idealisierten Modell verändern kann.
Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler ist, diesen Sonderfall auf eine Situation anzuwenden, in der die 'Ebene' tatsächlich eine merkliche eigene Querkrümmung hat (z. B. eine leicht gewölbte Lauffläche) – dann ist stattdessen der allgemeine Zylinder-Zylinder-Rechner mit dem tatsächlichen zweiten Durchmesser zu verwenden.
Häufige Fragen
Wann ist der Zylinder-Ebene-Sonderfall zulässig?
Wenn der zweite Kontaktpartner tatsächlich näherungsweise eben ist, also einen im Vergleich zum Zylinder sehr viel größeren oder unendlichen Krümmungsradius hat.
Wie unterscheidet sich das Ergebnis vom allgemeinen Zylinder-Zylinder-Fall?
Bei gleicher Kraft und gleichem ersten Durchmesser ist die Pressung gegen eine Ebene stets niedriger als gegen einen zweiten, endlichen Zylinder, da eine ebene Fläche der Verformung weniger entgegenkommt als eine gekrümmte.
Was, wenn die Bahn eine leichte eigene Krümmung hat?
Dann sollte stattdessen der allgemeine Zylinder-Zylinder-Rechner mit dem tatsächlichen (unter Umständen sehr großen) zweiten Durchmesser verwendet werden.
Welche Rolle spielt die Kontaktlänge L?
Eine größere Kontaktlänge verteilt dieselbe Kraft auf eine größere Fläche und senkt dadurch die Pressung; L geht direkt unter der Wurzel in die Formel ein.
Ist diese Berechnung für Linearführungen direkt nutzbar?
Als Vorbemessung ja; für eine vollständige Auslegung sind zusätzlich Wälzkörperanzahl, Lastverteilung und Lebensdauer nach Herstellerangaben zu prüfen.