Aus dem geometrischen Punktkontakt einer Kugel auf einer Ebene wird unter Last eine kleine kreisförmige Kontaktfläche; schon kleine Kräfte erzeugen dort sehr hohe Pressungen, weil die Fläche mit der Kraft nur unterproportional (F^(2/3)) wächst.
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Aus dem geometrischen Punktkontakt einer Kugel auf einer Ebene wird unter Last eine kleine kreisförmige Kontaktfläche; schon kleine Kräfte erzeugen dort sehr hohe Pressungen, weil die Fläche mit der Kraft nur unterproportional (F^(2/3)) wächst.
500 N auf eine 20-mm-Stahlkugel gegen eine ebene Stahlfläche (E* ≈ 115,4 GPa) ergeben einen Kontaktradius von a ≈ 0,32 mm und eine maximale Pressung von p0 ≈ 2.344 MPa.
Klassische Hertzsche Punktkontakttheorie: rein elastisch, glatte Oberflächen, Kontaktradius klein gegenüber dem Kugeldurchmesser; bei sehr hohen Pressungen setzt reale plastische Verformung ein, die hier nicht abgebildet wird.
Der Rechner bestimmt Kontaktradius und maximale Hertzsche Pressung zwischen einer Kugel und einer ebenen Fläche aus Normalkraft, Kugeldurchmesser und reduziertem Elastizitätsmodul.
Eine Kugel berührt eine Ebene geometrisch nur in einem Punkt. Unter Last verformen sich beide elastisch zu einer kleinen kreisförmigen Kontaktfläche mit Radius a = ∛(3·FN·D/(8·E*)), in deren Zentrum die maximale Pressung p0 = 3·FN/(2·π·a²) auftritt.
Man kann sich das wie einen Finger vorstellen, der auf eine feste Oberfläche drückt: An der Fingerspitze (dem 'Punkt') entsteht eine kleine, aber flächige Abplattung. Bei einer harten Stahlkugel ist die Abplattung winzig, aber real vorhanden – und weil die Fläche mit der Kraft nur unterproportional wächst (mit F^(2/3) statt F), steigt die Pressung bei zunehmender Last stark an.
a = ∛(3FN·D/(8E*)); p0 = 3FN/(2πa²)
a = ∛(3·FN·D/(8·E*))p0 = 3·FN/(2·π·a²)| Symbol / Eingabe | Bedeutung |
|---|---|
| Maximale Hertzsche Pressung p0 | Spitzenwert der Pressung im Zentrum der kreisförmigen Kontaktfläche. |
| Kontaktradius a | Radius der unter Last entstehenden kreisförmigen Kontaktfläche. |
| Normalkraft FN | Senkrecht zur Kontaktfläche wirkende Anpresskraft. |
| Kugeldurchmesser D | Durchmesser der Kugel. |
| Reduzierter Elastizitätsmodul E* | Wirksamer Elastizitätsmodul der Werkstoffpaarung, siehe verlinkten Rechner. |
Normalkraft FN, Kugeldurchmesser D und der reduzierte Elastizitätsmodul E* bestimmen Kontaktradius und maximale Pressung.
Berechne zunächst E* mit dem Rechner für den reduzierten Elastizitätsmodul, falls noch nicht bekannt. Gib dann Kraft und Kugeldurchmesser ein, um Kontaktradius und maximale Pressung zu bestimmen.
500 N auf eine 20-mm-Stahlkugel gegen eine ebene Stahlfläche (E* ≈ 115,4 GPa) ergeben einen Kontaktradius von a ≈ 0,32 mm und eine maximale Pressung von p0 ≈ 2.344 MPa.
Eine Pressung von über 2.300 MPa bei nur 500 N zeigt, wie konzentriert die Last bei Punktberührung wirkt: Dieselbe Kraft über eine Fläche von beispielsweise 1 cm² verteilt würde nur 5 MPa ergeben – der Unterschied von mehr als zwei Größenordnungen erklärt, warum Punktkontakte (Kugellager, Kugelgelenke) so empfindlich auf Werkstoffhärte und Oberflächengüte reagieren.
Kraft wird in N angegeben, Durchmesser in mm, der reduzierte Elastizitätsmodul in GPa, der Kontaktradius in mm und die resultierende Pressung in MPa.
Der Kontaktradius a wächst nur mit der dritten Wurzel der Kraft (a ∝ FN^(1/3)), während die Kontaktfläche mit a² wächst, also mit FN^(2/3). Die Pressung p0 = 3FN/(2πa²) wächst deshalb mit FN/FN^(2/3) = FN^(1/3) – langsamer als linear, aber ausgehend von einem geometrischen Punktkontakt bleibt die absolute Pressung dennoch sehr hoch, weil die Fläche selbst extrem klein bleibt. Das unterscheidet Punktkontakt grundlegend von einer flächigen Auflage, bei der doppelte Kraft auf gleicher Fläche exakt doppelte Pressung ergibt.
Die Berechnung wird zur Auslegung von Kugellagern, Kugelgelenken, Kugelkontakten in Präzisionsmechanik und Messtechnik sowie zur Abschätzung der Kontaktbeanspruchung bei Kugel-auf-Fläche-Prüfverfahren (z. B. Kugeleindruckhärteprüfung) verwendet.
Klassische Hertzsche Punktkontakttheorie: rein elastisches Verhalten, ideal glatte Oberflächen, Kontaktradius klein gegenüber dem Kugeldurchmesser. Bei sehr hohen Pressungen (oft oberhalb einiger Gigapascal) setzt reale plastische Verformung ein, die diese rein elastische Theorie nicht mehr korrekt abbildet.
Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler ist, die hohe Hertzsche Pressung mit der Streckgrenze des Grundwerkstoffs direkt zu vergleichen, ohne zu beachten, dass Hertzsche Pressungen naturgemäß sehr hoch sind und übliche Werkstoffe dafür ausgelegt (z. B. gehärtet) werden; ein Vergleich muss gegen werkstoffspezifische, für Hertzsche Kontaktbelastung geltende Grenzwerte erfolgen, nicht gegen die einachsige Streckgrenze.
Weil sich bei Punktkontakt die Last auf eine noch kleinere, kreisförmige statt streifenförmige Fläche konzentriert, die zudem nur mit der Kraft hoch zwei Drittel wächst.
Es setzt lokale plastische Verformung ein, die dieses rein elastische Modell nicht mehr korrekt abbildet; reale Kugellager werden deshalb aus gehärteten Werkstoffen gefertigt, die deutlich höhere Hertzsche Pressungen ertragen als übliche Baustähle.
Eine größere Kugel verteilt dieselbe Kraft über eine größere Kontaktfläche, wodurch die Pressung sinkt; der Zusammenhang ist jedoch wegen der Drittelpotenzen nicht linear.
Das Grundprinzip ja, jedoch muss dafür der reduzierte Durchmesser beider Kugeln analog zur Linienberührung kombiniert werden, was dieser Rechner in seiner kompakten Kugel-Ebene-Form nicht abbildet.
Er zeigt, wie klein die tatsächliche Berührfläche ist, und wird beispielsweise für die Abschätzung von Verschleißfläche oder für weiterführende Spannungsanalysen unterhalb der Oberfläche benötigt.