Was berechnet der Rechner?
Der Rechner bestimmt geometrische Querschnittskennwerte einer beliebigen geradlinig begrenzten 2D-Außenkontur. Anders als der Rechner für Rechteck, Kreis oder Rohr wird die Form durch Eckpunkte beschrieben. Diese müssen der Reihe nach entlang des Randes liegen; der letzte Punkt wird logisch mit dem ersten verbunden.
Was bedeutet das Flächenträgheitsmoment?
Das Flächenträgheitsmoment beschreibt, wie eine Fläche relativ zu einer Achse verteilt ist. In der Balkenbiegung bildet EI die Biegesteifigkeit: E ist eine Werkstoffeigenschaft, I eine reine Geometrieeigenschaft. Ein großes I bedeutet daher zunächst eine günstige Flächenverteilung zur betrachteten Biegeachse, nicht automatisch hohe Festigkeit.
Ein flaches Rechteck zeigt die Achsenabhängigkeit besonders deutlich: Um die starke und schwache Schwerpunktachse unterscheiden sich die Werte stark. I ist deshalb nur zusammen mit seiner Bezugsachse aussagekräftig.
Polygonintegrale und Vorzeichen
Für jede Kante wird ci = xi·yi+1 − xi+1·yi gebildet. Aus den Summen folgen Fläche, Schwerpunkt und die Integrale um den Ursprung. Eine im Uhrzeigersinn eingegebene Kontur wird intern umgedreht. Für das Produktträgheitsmoment gilt hier Ixy = ∫A x·y dA; es darf positiv, null oder negativ sein.
A = ½ Σ ciIx,0 = ¹⁄₁₂ Σ (yi² + yiyi+1 + yi+1²)ciIy,0 = ¹⁄₁₂ Σ (xi² + xixi+1 + xi+1²)ciSchwerpunktachsen und Steiner-Satz
Nach der Schwerpunktberechnung werden die Momente auf parallele Achsen durch S transformiert. Damit hängt das primäre Ergebnis nicht davon ab, wo der Koordinatenursprung liegt.
Ix = Ix,0 − Aȳ²Iy = Iy,0 − Ax̄²Ixy = Ixy,0 − Ax̄ȳBeispiel: Rechteck 100 × 50 mm
Die Startkontur (0,0), (100,0), (100,50), (0,50) ergibt A = 5.000 mm² und S = (50 mm, 25 mm). Analytisch folgen Ix = b·h³/12 = 1.041.666,667 mm⁴ und Iy = h·b³/12 = 4.166.666,667 mm⁴. Wegen der beiden Symmetrieachsen ist Ixy = 0. Diese Werte werden auch als automatisierter Referenztest verwendet.
Gültigkeitsbereich
Unterstützt wird genau eine geschlossene, nicht selbstschneidende Außenkontur aus geraden Kanten. Löcher, getrennte Teilflächen, Kreisbögen, DXF, plastische Kennwerte und Torsion sind derzeit nicht enthalten. Die geometrischen Werte allein sind kein Festigkeits-, Stabilitäts- oder Gebrauchstauglichkeitsnachweis.