Temperaturabhängigkeit eines metallischen Widerstands

Was beschreibt diese Größe?

Für reine Metalle steigt der spezifische Widerstand näherungsweise linear mit der Temperatur. Ist der Widerstand R0 bei der Bezugstemperatur T0 bekannt, ergibt sich der Widerstand R1 bei einer anderen Temperatur T1 aus R1 = R0·[1 + α·(T1 − T0)], wobei α der Temperaturkoeffizient des Materials ist.

Man kann sich das ähnlich wie die Wärmeausdehnung eines Metallstabs vorstellen: Beide Effekte sind für kleine bis moderate Temperaturänderungen in guter Näherung linear und werden durch eine materialspezifische Konstante beschrieben – nur dass hier nicht die Länge, sondern der elektrische Widerstand betroffen ist, weil stärkere Gitterschwingungen bei höherer Temperatur die Elektronenbewegung stärker behindern.

Formel und Variablen

R1 = R0 · [1 + α · (T1 − T0)]

• R1 = R0·[1 + α·(T1 − T0)]
• α = (R1/R0 − 1)/(T1 − T0)
• T1 = T0 + (R1/R0 − 1)/α

Eingaben richtig wählen

R0, T0, T1 und der Temperaturkoeffizient α bestimmen R1. α ist ein Materialwert, der sich auf eine bestimmte Bezugstemperatur bezieht, meist 20 °C, und für den betrachteten Temperaturbereich als konstant angenommen wird.

So benutzt du den Rechner

Wähle die gesuchte Größe. Für den Widerstand bei der Zieltemperatur gibst du R0, T0, T1 und α ein. Um umgekehrt einen gemessenen Temperaturkoeffizienten zu bestimmen, wähle α als Zielgröße und gib zwei gemessene Widerstände mit den zugehörigen Temperaturen ein.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

Ein Kupferwiderstand von 100 Ω bei 20 °C mit α = 0,00393/K, erwärmt auf 80 °C: R1 = 100 Ω · [1 + 0,00393 · 60] = 123,58 Ω, also eine Zunahme von 23,58 Ω bzw. +23,6 %.

Ergebnis und Einheiten verstehen

Eine Widerstandszunahme von 23,6 % bei 60 K Erwärmung zeigt, warum Wicklungswiderstände und Heizleiter aus Metall bei Betriebstemperatur einen spürbar höheren Widerstand haben als bei Raumtemperatur – ein Effekt, den etwa Widerstandsthermometer (Pt100) gezielt zur Temperaturmessung nutzen.

R0 und R1 werden in Ω angegeben, T0 und T1 in °C, und α in 1/K, äquivalent zu 1/°C für Temperaturdifferenzen.

Warum gilt dies nicht für NTC- und PTC-Widerstände?

Heißleiter (NTC) bestehen aus polykristalliner Mischoxidkeramik und zeigen eine ausgeprägte, aber stark nichtlineare exponentielle Abnahme des Widerstands mit steigender Temperatur, typischerweise 3 bis 6 % pro Kelvin. Kaltleiter (PTC) aus gesinterten Metalloxiden zeigen oberhalb einer Bezugstemperatur einen sprunghaften Widerstandsanstieg um mehrere Zehnerpotenzen. Beide Effekte sind so stark nichtlinear, dass die lineare Gleichung dieses Rechners – die für reine Metalle mit kleinem, näherungsweise konstantem α gilt – sie nicht abbilden kann; NTC- und PTC-Bauteile benötigen eigene Kennlinienmodelle aus dem jeweiligen Bauteil-Datenblatt.

Typische Anwendungen

Die Beziehung wird zur Korrektur von Kabel- und Wicklungswiderständen bei Betriebstemperatur, zur Auslegung von Widerstandsthermometern und zur Abschätzung der Wicklungserwärmung in Motoren und Transformatoren aus einer Widerstandsmessung vor und nach dem Betrieb verwendet.

Annahmen, Grenzen und typische Fehler

Die lineare Näherung gilt für reine Metalle über moderate Temperaturbereiche gut, weicht bei sehr großen Temperaturänderungen aber zunehmend von der tatsächlichen, leicht gekrümmten Kennlinie ab. Für Heißleiter (NTC) und Kaltleiter (PTC) — Halbleiterkeramiken mit stark nichtlinearer, exponentieller beziehungsweise sprunghafter Temperatur-Widerstands-Kennlinie — gilt diese lineare Formel nicht; sie benötigen eigene, materialspezifische Kennlinienmodelle, etwa die B-Parameter-Gleichung für NTC-Widerstände.

Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler ist, diese lineare Formel unverändert auf NTC- oder PTC-Bauteile anzuwenden, obwohl deren Widerstandsänderung um ein Vielfaches stärker und nichtlinear ist. Ebenso wird manchmal übersehen, dass α selbst leicht temperaturabhängig ist, sodass die lineare Näherung bei sehr großen Temperaturhüben deutlich über 100 K ungenauer wird.