Riemenzugkraft-Verhältnis nach der Capstan-Gleichung

Was beschreibt diese Größe?

Kurz vor dem Durchrutschen verhält sich das Verhältnis von Zugtrum- zu Losstrumkraft exponentiell zu Reibwert und Umschlingungswinkel: F₁ = F₂·e^(μθ), mit θ im Bogenmaß. Diese als Capstan- oder Euler-Eytelwein-Gleichung bekannte Beziehung gilt allgemein für ein über einen Zylinder oder eine Scheibe gleitendes Seil oder einen Riemen.

Ein Segler kann ein schweres Segel mit geringer Handkraft kontrollieren, indem er die Leine mehrfach um eine Poller-Klampe (Cleat) wickelt: Jede zusätzliche Umschlingung erhöht den Winkel θ und damit exponentiell die Kraft, die die haltende Hand gegenüber der Segellast aufnehmen kann. Genau dieselbe Capstan-Gleichung bestimmt bei einem Riementrieb, wie viel Zugkraftdifferenz zwischen den beiden Riementrumen möglich ist, bevor der Riemen auf der Scheibe durchrutscht.

Formel und Variablen

F₁ = F₂ · e^(μ·θ)

• F₁ = F₂ · e^(μθ)
• F₂ = F₁ · e^(−μθ)
• μ = ln(F₁/F₂) / θ
• θ = ln(F₁/F₂) / μ

Eingaben richtig wählen

Gib zwei der vier Größen ein. Verwende für θ den Umschlingungswinkel an der Scheibe, an der zuerst ein Durchrutschen zu erwarten ist – meist die kleinere Scheibe eines Riementriebs.

So benutzt du den Rechner

Wähle die gesuchte Zielgröße und trage die übrigen bekannten Werte mit Einheit ein. Das Ergebnis beschreibt den Grenzfall kurz vor dem Durchrutschen; für den sicheren Betrieb sollte die tatsächliche Zugkraftdifferenz einen Sicherheitsabstand zu diesem Grenzwert einhalten.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

Gegeben sind F₂ = 100 N, μ = 0,3 und θ = 180° (entspricht π im Bogenmaß). Einsetzen ergibt F₁ = 100 · e^(0,3·π) ≈ 256,6 N.

Ergebnis und Einheiten verstehen

Eine maximale Zugtrumkraft von 256,6 N bei 100 N Losstrumkraft zeigt, dass unter diesen Bedingungen höchstens eine Zugkraftdifferenz von rund 156,6 N nutzbar ist, bevor der Riemen durchrutscht. Diese Differenz multipliziert mit dem Scheibenradius ergibt das maximal übertragbare Drehmoment.

Kräfte in Newton (N), der Reibwert μ ist dimensionslos, der Umschlingungswinkel wird in Grad oder Radiant angegeben – für die Berechnung selbst ist stets das Bogenmaß maßgeblich.

Typische Anwendungen

Die Capstan-Gleichung wird bei der Auslegung von Riemen- und Seiltrieben, Förderbandantrieben, Ankerwinden sowie bei der Dimensionierung von Bremsbändern und Seilklemmen verwendet.

Annahmen, Grenzen und typische Fehler

Die Formel beschreibt den statischen Grenzfall unmittelbar vor dem Durchrutschen bei einem masselosen, undehnbaren Riemen. Bei hohen Riemengeschwindigkeiten reduziert die Fliehkraft die effektive Anpresskraft und damit die real übertragbare Kraftdifferenz gegenüber diesem idealen Wert.

Typischer Fehler: Den Umschlingungswinkel nicht in Grad in die Formel einsetzen, ohne zuvor ins Bogenmaß umzurechnen – der Rechner übernimmt diese Umrechnung automatisch, bei einer Handrechnung muss θ jedoch zwingend in Radiant vorliegen. Außerdem den Reibwert μ nicht mit dem Haftreibwert einer trockenen, sauberen Oberfläche gleichsetzen, wenn der Riemen tatsächlich verschmutzt, verschlissen oder geölt ist.